2008年6月16日

如何計算投資報酬率?(二)

某甲受到傳統理財觀念的影響,一直認為房地產是最佳的投資保值之道。在1984年初,他碰巧在台灣房價大漲初期在台北市東區以450萬元買了一間公寓五樓約35坪的房子,隔兩三年後房價幾乎漲了一倍。自此他對房子的投資保值信念更加堅定。於是在1988年又以1500萬元買下第二間52坪的公寓六樓的房子。因他認為房產是最穩當的長期投資,所以一直沒賣。現在同區的老公寓住宅的行情大約為每坪55萬元,某甲認為房價還會漲,對於房產增值的信心也未改變。你認為某甲的投資決策如何?

經詢問,某甲並未仔細算過該兩投資決策的報酬率。第一筆投資增值了4.3倍,第二筆投資增值了1.9倍。乍看之下還不錯。但第一筆投資已經過了24年,第二筆投資也有20年了。如果換算成長期年複利報酬率,第一筆投資約為6.2%,第二筆投資約為3.3%。這還是稅前的數字。同期間的股市大盤指數報酬率分別約為10.2%(1984(800)~2008(8200))、2.0%(1988(5500)~2008(8200))。

當筆者把前述計算結果拿給某甲看時,他感到驚詫不已,他沒想到房產長期下來的報酬率居然這麼低。顯然地,他一直用原始印象中的報酬率做為他投資決策的基準,而且中間一直沒有重新審視過報酬率的變化。這是以單一投資個案的報酬率做為投資決策基準的例子,是前述關於報酬率的第一個思考陷阱。某甲想到投資報酬率時未考慮投資的時間長度,這種陷阱看似有點匪夷所思,但一般人在考慮投資房子卻不經意地常犯這個錯誤。

再舉一個例子。某乙於2004年買進鴻海(2371)、2007年賣出,其間大約增值了55%,年複利報酬約15.5%,替他賺進了約180萬元。他為此沾沾自喜,認為時機拿捏精準。可是經過詢問,如計算全部股票的投資組合,該期間的報酬率僅約9%。再進一步詢問得知,某乙的大部份資產卻投資在房地產如公寓辦公室等,而且都是十幾二十年的長期投資,股票部份只約占總投資資產金額的2%。雖然他以投資資產的2%的相對高報酬率激動不已,卻讓其他98%的資產躺在房產上賺取僅僅3~4%的年複利報酬率。當筆者給他看這些數字時,他感到很驚訝,一下子還無法接受這個事實。這是前述所提的第二個關於報酬率的思考陷阱:見樹不見林。

前面所提的主要是觀念上的陷阱。但如要真正了解報酬率,簡單的數學運算還是少不了。接下來我們要做些關於報酬率的計算,簡單的、不是複雜的。

假設某丙的一筆長期投資組合從2002年初持有到2008年末,每年度的投資報酬率分別為9%, 3%, 14%, -5%, 7%, 18%, -9%。請問此投資組合的長期平均報酬率是多少?

有兩種計算「平均數」的算法。有些投資人的算法如下:
平均報酬率=(9%+3%+14%-5%+7%+18%-9%)÷7=5.3%

上面算法的結果叫做「算數平均數」。此種算數平均並不適合用來計算平均報酬率,因此是錯的。正確的計算方法如下:
平均報酬率=[(1+9%)*(1+3%)*(1+14%)*(1-5%)*(1+7%)*(1+18%)*(1-9%)]^(1/7)-1
=4.9% (註:^代表乘方。例如5^3=5*5*5,3^(1/2)=√3,3^(1/7)=3的七次方根。)

上面公式計算出來的平均叫做「幾何平均數」。用掌上型財務計算機或試算表都可以很容易求出報酬率的幾何平均數。一般所謂的「年複利平均報酬率」指的就是報酬率的幾何平均數,而非算數平均數

也許有人會說,前面的例子中兩個平均數差別不大,因此用算數平均數來做為幾何平均數的近似值也未嘗不可。這話倒也說對了一半,因為如果所有年度的報酬率都為正值且差異不大時,可以用算數平均數來作為幾何平均數的近似值。例如:11%,12%,9%,14%,13%,10%,11%七個數字的算術平均數=11.43%,幾何平均數=11.41%,兩者幾乎相同。

但看看這個例子:-50%, 65%, -45%, 55%四個數字的算術平均數=6.25%,幾何平均數=-2.63%,兩者就差很多了。主要的原因在於,如果第一年虧損50%,第二年要有100%的報酬率才能打平。例如投資100萬元,第一年末虧損50%,只剩下50萬元,第二年勢必得賺50萬元---亦即報酬率100%---才能回本。如果用算數平均數的算法,平均報酬率=(-50%+100%)÷2=25%,計算結果顯然是錯的。如果用幾何平均數的算法,平均報酬率=[(1-50%)*(1+100%)]^(1/2)-1=0%,沒賺沒虧、正好打平,這結果才是對的。

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