2008年6月26日

如何計算投資報酬率?(三)

前面所提報酬率的例子都是從買進到最後賣出之間沒有資金的進出,所以計算起來就很單純。但實際上很少投資人會如此做,中間通常會加入資金買進股票,或賣出股票獲利了結。即使是定期定額投資法(Dollars-Cost Averaging)也是有不斷的資金加入。此時要如何計算年複利平均投資報酬率呢?

例如,張小姐利用定期定額投資市場指數基金,每年一月份都會投資一筆錢購買相同的指數型基金,迄今已有十二年。她投資的情形如下:

年份

投資金額(萬元)

賣出求現(萬元)

1997

15


1998

18


1999

20


2000

15


2001

25


2002

20

30

2003

15


2004

22


2005

10

20

2006

30


2007

25


2008

30


目前市值:478萬元


請問:張小姐的年複利平均報酬率是多少呢?

這問題的答案可就沒有像前面所舉的例子那麼容易計算了。有些投資人會用直覺的算法來計算報酬率:報酬率=產出/投入-1。投入=所有投入的金額=245萬元,產出=賣出求現金額+目前市值=50+478=528萬元,所以報酬率=528/245-1=115.5%。

可能有讀者已經看出這種計算方法有些不對勁。首先,此算法無法告訴我們年複利平均報酬率是多少,因為沒有考慮到時間的因素;其次,即使想加入時間因素,但要算多長的時間呢?這些讀者的疑慮是正確的。像這種牽涉多個時點的投資報酬率的計算會比較複雜,但觀念上還是很單純的。舉個簡單的例子大家就會明白。

假如從第一年初你拿出100萬元買進一個投資組合,然後第三年初你又拿出50萬元買進另一個投資組合,現在是第五個年頭快結束了,你發現第一個與第二個投資組合的市值分別為180萬元與65萬元。按照正確的計算方法,你可以很快地計算出個別的平均年複利報酬率:

投資組合一的報酬率=(180÷100)^(1/5)-1=12.5%
投資組合二的報酬率=(65÷50)^(1/3)-1=9.1%

但對你而言分開計算雖然容易,但沒有意義,因為你想知道的是整體的長期平均年複利報酬率是多少,也就是說,把投資組合一跟投資組合二合併起來計算的年平均報酬率是多少。

顯然地,把兩者分別的報酬率相加後再除以二是錯誤的,因為兩個投資組合大小不同,期間長短也相異;即使用投資組合的金額加權,其加權平均數也是不對勁,因為不僅權值難以決定(註一),時間點也不同。那到底要如何計算才是正確呢?

我們可以這樣想,想像存在著一個報酬率X%,這個報酬率會使得第一年初的100萬元加上第三年初的50萬元到第五年末變成了245萬元(=180+65),寫成數學等式就是如此:

100*(1+X%)^5+50*(1+X%)^3=245

那麼這個報酬率X%就是包含兩個投資組合的整體長期平均年複利報酬率。如果第四年初因另有需要而賣股變現獲得30萬元現金,這種情況又該如何計算呢?觀念相同,不過這次要把30萬元現金換算成現在的價值後再加到投資組合的總市值裡。所以總市值就不僅僅是245萬元,而是要加上30萬元的現在價值。因為如果30萬元還留在投資組合的話,到第五年末就變成:(30萬元)* (1+X%)^2。寫成數學等式就如下:

100*(1+X%)^5+50*(1+X%)^3=245+30*(1+X%)^2

我們注意到,上面式子等號的左邊是我們付出去(流出口袋)的現金,等號右邊是可以流入口袋的現金(如果獲利了結的話)。因此我們可以從上面的等式來解釋在多時點資金流入或流出的情況下,整體的年複利平均投資報酬率X%就是使流出資金的現值(Present Value)等於流入資金現值時的報酬率。這就是所謂的IRR(內部報酬率,Internal Rate of Return)的概念,只不過IRR通常用來計算“未來的”預期報酬率,而我們前面所描述的是計算“過去”已經發生的報酬率。

一般教科書上的定義是,內部報酬率是指能使所有現金流量淨現值剛好為零之折現率,亦即使所有現金流入的現值等於所有現金流出的現值時的折現率。這個定義常讓人覺得像丈二金剛摸不著頭腦,無法真正理解為何如此。如果你把這個折現率看做是年複利平均報酬率的話,就會恍然大悟了。因為如果用年複利平均報酬率當折現率,那麼所有未來淨現金流入(獲利)的現值自然會等於現在的淨現金流出(投資)。(啥!? #@$%&^*)

很多人無法理解IRR為何可以用來計算過去的報酬率,因為計算過去的報酬率時,現值是指把過去的金錢價值經由年複利平均報酬率(已發生的報酬率)換算成現在的價值,而非把未來現金流量經由折現率(預期的內部報酬率)折現為現值。計算未來預期的內部報酬率時,我們把未來預期的現金流入或流出全部折現成現值,所以用“折現率”這個字眼。我們借用相同的概念來計算已經發生的「年複利平均報酬率」,雖然不用「折現率」這個字眼,但數學上意思完全相同,計算公式也是完全相同。在Excel裡的函數IRR在兩個情況都可用。

如果把前面的方法應用於張小姐的定期定額投資,她的年複利平均報酬率可用類似的等式求出。但因為用這種數學等式來求年複利平均報酬率要解複雜的方程式,沒有實用價值。感謝科技的發明,幸好有現成的各種試算表程式可用讓這種計算變得輕而易舉。(註:用掌上型財務計算機也可求IRR,但輸入資料時很囉唆,不如試算表好用。)

沿用前面的例子,接下來讓我們看看實際上如何利用Excel函數IRR求年複利平均報酬率。


註一:如果用投資組合的期末市值做為權值,則加權平均報酬率=(12.5%*180+9.1%*65)/(180+65);如果用投資組合的期初市值做為權值,則加權平均報酬率=(12.5%*100+9.1%*50)/(100+50);或用投資組合期末期初的平均值?

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